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In der Bayesschen Statistik ist die Posterior predictive distribution eines statistischen Modellscite-ref-1[1] die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte neuer, unbeobachteter Werte x ~ ~ {\displaystyle {\tilde {x}}} , gegeben alle bisherigen Beobachtungen x {\displaystyle \mathbf {x} } . Man erhält sie durch Parameter-Integration der bedingten Dichte p ( x ~ ~ | θ θ ) {\displaystyle p({\tilde {x}}|\theta )} mit der Posterior-Dichte p ( θ θ | x ) {\displaystyle p(\theta |\mathbf {x} )} .

• Definition

• Abgrenzung gegenüber der Prior predictive distribution

• Bootstrap predictive distribution

• Siehe auch

• Einzelnachweise

Die Posterior predictive distribution ist definiert als

p ( x ~ ~ | x ) = ∫ ∫ Θ Θ p ( x ~ ~ | θ θ ) p ( θ θ | x ) d θ θ = E θ θ | x [ p ( x ~ ~ | θ θ ) ] , {\displaystyle p({\tilde {x}}|\mathbf {x} )=\int _{\Theta }p({\tilde {x}}|\theta )\,p(\theta |\mathbf {x} )\operatorname {d} \!\theta =\mathbb {E} _{\theta |\mathbf {x} }[p({\tilde {x}}|\theta )],}

wobei Θ Θ {\displaystyle \Theta } der Parameterraum und p ( θ θ | x ) {\displaystyle p(\theta |\mathbf {x} )} die Posterior-Dichte ist. Die Gleichheit lässt sich mit dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit direkt sehen.

Die Posterior predictive distribution spielt zum Beispiel im Rahmen der Gauß-Prozess-Regression eine wichtige Rolle.

Die Prior predictive distribution lässt die beobachteten Daten außer Acht: p ( x ~ ~ ) = ∫ ∫ Θ Θ p ( x ~ ~ | θ θ ) p ( θ θ ) d θ θ {\displaystyle p({\tilde {x}})=\int _{\Theta }p({\tilde {x}}|\theta )\,p(\theta )\operatorname {d} \!\theta }

Die Posterior predictive distribution kann durch Anwendung der Bootstrap predictive distribution p B ( x ¯ ¯ ∣ ∣ X ) = ∫ ∫ p ( x ¯ ¯ ∣ ∣ θ θ M L E ( X ~ ~ ) ) p ^ ^ ( X ~ ~ ) d X ~ ~ {\displaystyle p_{B}({\bar {x}}\mid X)=\int p({\bar {x}}\mid \theta _{MLE}({\tilde {X}})){\hat {p}}({\tilde {X}})d{\tilde {X}}} genähert werden, wobei X ~ ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} per Bootstrapping-Verfahren aus der empirischen Verteilungsfunktion gezogene Stichproben sind.cite-ref-2[2]cite-ref-3[3]

• Gibbs-Sampling

cite-note-11. ↑ Gaussian Process Regression Analysis for Functional Data. ISBN 978-1-4398-3774-0.

cite-note-22. ↑ Tadayoshi Fushiki: Bayesian bootstrap prediction. „[…] the bootstrap predictive distribution is considered to be an approximation of the Bayesian predictive distribution […]“ doi:10.1016/j.jspi.2009.06.007.

cite-note-33. ↑ Tadayoshi Fushiki, Fumiyasu Komaki, Kazuyuki Aihara: Nonparametric bootstrap prediction. 2005, doi:10.3150/bj/1116340296.